В каком виде спорта капитаны не играют, а только руководят игрой?

Большой теннис.

На крупных турнирах по по теннису среди сборных команд - Кубок Дэвиса у мужчин и Кубок Федераций у женщин, в каждой команде есть капитан. Его функции заключаются в управлении командой, а именно определять порядок выхода на корт теннисистов своей команды, ну и, разумеется, подсказывать во время матчей, выполняя функции тренера команды.

В России как у мужчин, так и женщин долгое время таким капитаном был Шамиль Тарпищев. На этом посту он с 1974 года, когда руководил еще советскими командами. И руководить бы ему еще и дальше женщинами, но в 2014 году женская федерация тенниса его отстранила на год за высказывания в программе у Урганта в отношении сестер Уильямс, Шамиль назвал их "братьями". Его место заняла Анастасия Мыскина.